Заходите в админ панель своего хостинга. Далее ищем раздел PhpMyAdmin. Выбираешь необходимую базу данных в меню слева. Затем в меню экспорт. Сохраняешь sql файл со стандартными настройками себе на компьютер. Файлы сайта: Если хостингом предусмотрен бэкап, меню которого так же есть в панели этого самого хостинга, сохраняешь через эту функцию (по подсказкам)  и скачиваешь себе на компьютер. Либо через файловый менеджер, допустим популярный FileZilla, либо с панели хостинга (раздел обычно FTP), заходишь на фтп сервер где лежат файлы твоего творения. Копируешь корневую папку себе на компьютер.
На новом хостинге в PhPmyAdmin делаешь импорт sql файла, в меню импорт конечно же. Ура! База данных на новом хостинге. В файловом менеджере создаешь новое соединение к фтп, адрес и настройки которого обычно присылает хостинг на вашу почту. Подключаешься к фтп нового хостинга и ложишь корневую папку своего сайта на этот фтп сервер. Файлы сайта перенесены.
Домен: На сайте регистратора вашего домена (там где ты покупал или получал свой домен(имя сайта, например: valera.hu)) в разделе, который обычно называется редактор DNS зоны, прописываете/направляете ns сервера, выданные вам новым хостингом на сервер хостинга. Или просите администрацию регистратора доменов, сделать это за вас. ns - сервера, на которые необходимо направить ваш домен, присылают обычно на почтовый ящик указаный при регистрации аккаунта на хостинге. Ждем от 12 до 72 часов и сайт перенесен. 
При переносе своего сайта на другой хостинг убедитесь, что хостинг и тариф предполагает поддержку вашей CMS, если используете такую.