Юрий, Попробую сформулировать как вообще, что нужно просто с нуля, а вы решите, что и как и где у вас есть доступ где нет.
1. Регистрация на любом хостинге (здесь на супре есть ссылки на хостинг провайдеров). К стати регистраторы доменов, так же предоставляют хостинг, но у них обычно дороже.
После регистрации и оплаты какого либо периода за хостинг, у вас появляется панель управления, где можно добавлять сайты, базы данных (без которых сайты на CMS не работают), добавлять DNS записи для домена.
2. Регистрация, бля не помню как их называют, у тех кто регистрирует домены. У вас там тоже будет панель управления и там вы укажите DNS того хостинга где будет сайт. Извиняюсь за мой слишком простой язык, но так чуть понятней - по простому.

Вот в принципе и все. Квартиру вы сняли и официально прописались, остальное это ваши таблички на двери (сайты)

У сайта может быть свой доступ, как я понял у вас он есть и им вы пользуетесь.

А вот, что бы залить существующий сайт на новый хостинг, то тут с одной стороны ни чего сложного, а с другой если не знаешь ничего не получится.
У вас вордпресовские вроде сайты, на хост нужно заливать базу данных и сам сайт. Тут вам потребуется поддержка службы хостинга, обычно на нормальных хостах без проблем помогают, говорят, что делать, что то делают по возможности сами.

Единственное, что я не знаю это про ваш бекап, ну по любому на хосте обратиться там расскажут и подскажут.

Итог: Хостинг вам по любому нужен. Регистрируйтесь
На счет доменов, вот тут вопрос сложный, нужно пояснения от вас. Домены записаны на ваши данные или нет? Или данные на вас, но домен в панели какого-то хостинг провайдера?
Ну это однофигственно, по любому если на вас, то нужно будет отсылать доки заверенные у натара - короче волокита.
Да слишком мало инфы, поэтому, много здесь гаданий.